看看学霸评出四类几何坑人问题,深入领悟,

我们常说最坑的题是那种，一看到题就觉得好简单呀，这不送分题吗，然后非常开心的就掉进了坑里，最关键的是掉进坑里还全然不知，觉得坑里贼舒服，因为自认为把分轻松拿到了手。一些学霸评出很坑的几何题常常有这样几类：第一类“坑”有题目，无图形题目中没有图，需要自己画出图，图形画法不唯一，这类问题往往需要分类讨论，这类题极易漏解而使解答错误。1．（秋南岗区期末）已知：在同一个平面内，AB⊥CD，垂足为O，OE平分∠AOC，∠BOF＝30°，则∠EOF的度数为______度．分两种情况：①射线OF在∠BOC内部；②射线OF在∠BOD内部．∵AB⊥CD，垂足为O，∴∠AOC＝∠COB＝90°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE＝1/2∠AOC＝45°．分两种情况：①如图1，射线OF在∠BOC内部时，∵∠AOE＝45°，∠BOF＝30°，∴∠EOF＝°﹣∠AOE﹣∠BOF＝°；②如图2，射线OF在∠BOD内部时，∵∠COE＝45°，∠COB＝90°，∠BOF＝30°，∴∠EOF＝∠COE+∠COB+∠BOF＝°．故答案为或．2．（秋卫辉市期末）已知∠A和∠B的两边分别平行，若∠A＝71°22’，则∠B＝______．本题考查了平行线的性质的应用，注意：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．∵∠A的两边与∠B的两边分别平行，∠A＝71°22′，∴∠A+∠B＝°或∠A＝∠B，∴∠B＝°38′或71°22′．故答案为：＝°38′或71°22′．3．（秋大洼区期末）已知△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝80°，则∠BAC＝_______．本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，分∠ABC为锐角及∠ABC为钝角两种情况考虑是解题的关键．当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，如图1所示．∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABH＝80°，BH＝DH．∵AB+BH＝CH，CH＝CD+DH，∴CD＝AB＝AD，∴∠C＝1/2∠ADB＝40°，∴∠BAC＝°﹣∠ABH﹣∠C＝60°．当∠ABC为钝角时，如图2所示．∵AB+BH＝CH，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝1/2∠ABH＝40°．故答案为：60°或40°．4．（秋蜀山区期末）在△ABC中，D、E是边BC上的两点，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，则∠BAC的度数是_______．如图1，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∠DAB+∠B+∠EAC+∠C﹣∠DAE＝°，则2（∠B+∠C）＝°，解得，∠B+∠C＝°，∴∠BAC＝70°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE＝°，则2（∠B+∠C）＝°，解得，∠B+∠C＝70°，∴∠BAC＝°，故答案为：70°或°．第二类“坑”抠字眼也有这么一类题目，我们会忽略题目中的关键字眼，做题时审题时一定要仔细，尤其要注意一些重要的关键字眼，不要以为是容易题陈题就一眼带过，要注意陈题中可能有新意。也不要一眼看上去认为是新题、难题就畏难而放弃，要知道难题也只难在一点，新题只新在一处。由于疏忽看错题或畏难轻易放弃都会造成很大的遗憾。5．（秋克东县期末）已知线段AB＝10cm，点C在直线AB上，且BC＝2cm，若点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，则线段MN的长为_______．根据线段中点的定义求出BM、BN，再分线段BC不在线段AB上和在线段AB上两种情况讨论求解．解题时注意点C在直线AB上意味着什么。∵M是AB的中点，N是BC的中点，∴BM＝1/2AB＝1/2×10＝5cm，BN＝1/2BC＝1/2×2＝1cm，如图1，线段BC不在线段AB上时，MN＝BM+BN＝5+1＝6cm，如图2，线段BC在线段AB上时，MN＝BM﹣BN＝5﹣1＝4cm，综上所述，线段MN的长度是6cm或4cm．故答案为：6cm或4cm．6．（秋成都期末）在△ABC中，∠ACB＝50°，CE为△ABC的角平分线，AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F，若∠ABD：∠ACF＝3：5，则∠BEC的度数为_______本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，三角形的角平分线的定义，三角形的高等知识，解题的关键是世界之外基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型。注意AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F，这一句中直线意味什么？分两种情形：①如图1中，当高BD在三角形内部时．②如图2中，当高BD在△ABC外时，分别求解即可．：①如图1中，当高BD在三角形内部时，∵CE平分∠ACB，∠ACB＝50°，∴∠ACE＝∠ECB＝25°，∵∠ABD：∠ACF＝3：5，∴∠ABD＝15°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴∠CBD＝40°，∴∠CBE＝∠CBD+∠ABD＝40°+15°＝55°，∴∠BEC＝°﹣∠ECB﹣∠CBE＝°﹣25°﹣55°＝°②如图2中，当高BD在△ABC外时，同法可得：∠ABD＝25°，∠ABD＝15°，∠CBD＝40°，∴∠CBE＝∠CBD﹣∠ABD＝40°﹣15°＝25°，∴∠BEC＝°﹣25°﹣25°＝°，综上所述，∠BEC＝°或°，故答案为°或°．7．（秋肥城市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，AD＝1，E是边AC上的一点（E与端点不重合），如果以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，那么AE的长是_________．分两种情况，由相似三角形的性质可求解．∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴由勾股定理可求得AB＝5，∵A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，∴AB/AD=AC/AE，或AB/AE=AC/AD，∴5/1=4/AE或5/AE=4/1，解得：AE＝4/5或AE＝5/4，故答案为：4/5或5/4.变式1.（秋淅川县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB，BC上的点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为_______∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝EF，∵BC＝4，∴CE＝4﹣BE，∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，∴CE/BC=EF/AB或CE/AC=EF/AB，即(4-EF)/4或(4-EF)/3=BE/3，解得：BE＝12/7或2，故答案为：12/7或2．变式2.（秋港闸区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为______根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若△APD∽△BPC②若△APD∽△BCP．：∵∠A＝∠B＝90°①若△APD∽△BPC,则AP/BP=AD/BC,∴AP/(7-AP)=2/3,解得AP＝2.8．②若△APD∽△BCP,则AP/BC=AD/BP,∴AP/3=2/(7-AP),解得AP＝1或6．∴则满足条件的AP长为2.8或1或6．故答案为：2.8或1或6．第三类“坑”最值问题转化平面几何图形中的最值问题是近几年中考常见的题型，此类问题常让学生无从下手，让学生真正头疼的题目，往往出现在填空选择等的压轴题中，得分率很低，是实实在在的“坑”题。几何最值问题常涉及到原理:两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，其中包含了数学中的化归思想、数形结合思想。8．（秋椒江区期末）模型结论：如图①，正△ABC内接于⊙O，点P是劣弧AB上一点，可推出结论PA+PB＝PC．应用迁移：如图②，在Rt△EDG中，∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2√3，F是△DEG内一点，则点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为（ 　　）A．√17　　B．5　　C．3√3　　D．√39模型结论：∵将△PBC绕C点顺时针旋转60°，∴∠PCD＝60°，PC＝CD，AD＝PB，∠CAD＝∠CBP，∵∠PBC+∠PAC＝°，∠DAC+∠PAC＝°，∴P，A，D在一条直线上，∴△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝DC，∴PB+PA＝PA+AD＝PD＝PC；应用迁移：如图2：以DG为边作等边三角形△MGD，以DF为边作等边△DFP．连接EM，作MN⊥ED，交ED的延长线于N．∵△MGD和△DFP是等边三角形∴PF＝DF＝PD，∠FDP＝∠GDM＝60°，DG＝MD，∴∠FDG＝∠MDP，∴△DFG≌△DPM（SAS），∴FG＝PM，∴EF+DF+FG＝EF+PF+PM，∴当E、F、P、M四点共线时，EF+PF+PM值最小，且EF+PF+PM＝EM，∵∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2√3，∴∠EDM＝°，∴∠NDM＝30°，∵MD＝DG＝2√3．∴MN＝1/2DM＝√3，DN＝3，∴NE＝DE+DN＝3+3＝6，∴由勾股定理可求得EM＝√39，∴点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为√39，故选：D．9．（武侯区模拟）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的角平分线交边CD于点N．则线段MN的最小值为______．连接AM、MN、AN，如图1所示：∵MN+AM≥AN，∴MN≥AN﹣AM，当A、M、N三点共线时，MN＝AN﹣AM，最小，当A、M、N三点共线时，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点B关于直线AP的对称点为M，∴AP垂直平分BM，∴AB＝AM，PB＝PM，易证△ABP≌△AMP（SSS），∴∠B＝∠PMA＝90°，∴∠PMN＝∠C＝90°，∵PN是∠MPC的角平分线，∴∠NPM＝∠NPC，易证△NPM≌△NPC（AAS），∴MN＝CN，设MN＝x，则DN＝CD﹣CN＝3﹣x，AN＝AM+MN＝3+x，在Rt△ADN中，42+（3﹣x）2＝（3+x）2，解得：x＝4/3，∴线段MN的最小值为4/3，故答案为：4/3．10．（秋苍南县期末）如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，0），C是线段AB的中点，D为x轴上一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE（点A，D，E以顺时针方向排列），其中∠DAE＝90°，则点E的横坐标等于 　　，连结CE，当CE达到最小值时，DE的长为_______．如图，把线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AC′，连接C′D，则C′为定点（2，5/2），易证△ACE≌△AC′D（SAS）∴C′D＝CE．当C′D⊥OD时，C′D最小，CE最小值为5/2，∴OD＝2，过E作EG⊥OA于G，EH⊥x轴于H，则四边形EHOG是矩形，∴EG＝OH，∵∠AGE＝∠AOD＝∠EAD＝90°，∴∠AEG+∠EAO＝∠EAO+∠OAD＝90°，∴∠AEG＝∠OAD，∵AE＝AD，∴△AEG≌△DAO（AAS），∴AG＝OD＝2，EG＝OA＝4，∴点E的横坐标等于﹣4，∴EH＝OG＝2，DH＝2+4＝6，∴由勾股定理可求得DE＝2√10，故答案为：﹣4，2√10．11．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OC′E′D′．记旋转角为a（0°＜a＜°），连结AC′、BD′，设直线AC′与直线BD′相交于点F，则点F的纵坐标的最大值为______．首先找到使点F的纵坐标最大时点F的位置（点F与点E′重合时），然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点F的纵坐标的最大值．：如图，∵∠AOB＝∠D′OC′，∴∠ACO′＝∠BOD′，易证△AOC′≌△BOD′，∴∠OAF＝∠OBF，∵∠AGO＝∠BOF∴∠BFA＝∠BOA＝90°，∴点F、B、A、O四点共圆，∴当点F在劣弧上运动时，点F的纵坐标随∠FAO的增大而增大，∵OC′＝2，∴点C′在以点O为圆心，2为半径的圆O上运动，∴当AF与⊙O相切时，∠C′AO（即∠FAO）最大，此时∠AC′O＝90°，点E′与点F重合，点F的纵坐标达到最大．过点F作FH⊥x轴，垂足为H，如图所示．∵∠AC′O＝90°，C′O＝2，AO＝4，∴∠E′AO＝30°，AC′＝2√3．∴AF＝2√3+2．∵∠AHF＝90°，∠FAH＝30°，∴FH＝1/2AF＝1/2×（2√3+2）＝√3+1．∴点P的纵坐标的最大值为√3+1．第四类（折叠、旋转）变换或动点的多解问题有些几何平移、旋转、对称、折叠问题，题目中有些元素位置或大小没有确定，需要自己画出图形确定出可能出现情形，图形画法往往不唯一，需要分类讨论这类题难度就较大。需要全面细致分析，否则极易漏解。图形的变换多解题型在几何知识里属于难度较大的一个模块，很多同学在做这类题时通常直接放弃，失分率很高12．（郑州一模）如图，在矩形ABMN中，AN＝1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF．当EF⊥AC时，AE的长为_______．首先证明∠CAB＝∠CBA＝30°．分两种情形画出图形分别求解即可．：∵四边形ABMN是矩形，∴AN＝BM＝1，∠M＝∠N＝90°，∵CM＝CN，∴△BMC≌△ANC（SAS），∴BC＝AC＝2，∴AC＝2AN，∴∠ACN＝30°，∵AB∥MN，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF＝60°，∵DA＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴∠AFD＝60°，∵∠DFE＝∠DAE＝30°，∴EF平分∠AFD，∴EF⊥AD，此时AE＝√3/3．②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF＝√3．综上所述，满足条件的EF的值为√3/3或3．13．（秋川汇区期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为______．连接BB′，根据直角三角形的判定定理得到∠BB′C＝90°，求得∠B′CD＜90°，（1）如图1，∠B′DC＝90°，（2）如图2，∠CB′D＝90°，则B，B′D三点共线，设AE，BB′交于F，根据相似三角形的性质即可得到结论．：连接BB′，∵BE＝B′E＝EC，∴∠BB′C＝90°，∴∠B′CD＜90°，（1）如图1，∠B′DC＝90°，则四边形ABEB′和ECDB′是正方形，∴BC＝2AB＝4，（2）如图2，∠CB′D＝90°，则B，B′，D三点共线，设AE，BB′交于F，∵AB＝AB′，EB＝EB′，∴AE垂直平分BB′，∴BF＝B′F，∵∠AFB＝∠DB′C＝90°，∵∠BAF＝∠ABF＝∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠BAF＝∠EBF，同理∠EBF＝∠DCB′，∴∠BAF＝∠DCB′，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDB′，∴BF＝D′D，∴F，B′是对角线BD的三等分点，∵△BCB′∽△CDB′，∴BC/CD=CB/DB=BB/CB，∴BC/CD=BB/DB，∴BC＝√2CD＝2√2，故答案为：4或2√2．14．（秋宿迁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝6√10．点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM＝∠PFN＝90°，由矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可，②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，由勾股定理解答即可．：分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示：则∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝6√10，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD＝2√10，由勾股定理可求得BD＝20，∵点P是AD的中点，∴PD＝1/2AD＝3√10，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴PF/AB=PD/BD，即PF/2√10=3√10/20，解得：PF＝3，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴NF/PF=CE/PF=2，∴MF＝NF＝2PF＝6，∴MN＝2NF＝12；②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示：由①得：PF＝3，MF＝6，设MN＝PN＝x，则FN＝6﹣x，在Rt△PNF中，32+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝15/4，即MN＝15/4；综上所述，MN的长为12或15/4；故答案为：12或15/4．15．（秋大东区期末）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为_____．根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当CE＝CD，且点P在线段AD上时，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，求出EM的长，并证明△PEM是含有30°角的直角三角形，即可求出PE的长，即AP的长；第二种情况是当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，推出△BCE为等边三角形，证明△PME是含有30°角的直角三角形，即可求出PE的长，即AP的长；第三种情况是当ED＝EC，且点E在CD的垂直平分线上时，证△ABE为等边三角形，求出∠ABP＝30°，即可求出AP的长．：①如图1，当CE＝CD，且点P在线段AD上时，由题意知，△BEC为等边三角形，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，则EN＝√3/2BE＝√3/2，∴ME＝1﹣√3/2，在四边形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝°，∴∠MPE＝°﹣∠APE＝30°，∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣√3，∴AP＝PE＝2﹣√3；②如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，由题意知，△BCE为等边三角形，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，则NE＝√3/2CE＝√3/2，∴ME＝1+√3/2，在四边形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝°，∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+√3，∴AP＝PE＝2+√3；③如图3，当ED＝EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，又∵AB＝EB，∴△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，在Rt△ABP中，AP＝√3/3AB＝√3/3，综上所述，AP的值为2﹣√3或2+√3或√3/3．反思总结数学永远都有很坑的题，因为数学内容广，而且灵活性高。所以数学最容易出现超难题。而数学中的难度大的题主要集中在几何中。具体有以下几种情况。一、几何图形变换多，尤其空间图形，如果想象能力如果跟不上，则一个很简单的图都会出现很难的题。二、没去想常用的几何模型而去添加的辅助线，尤其是辅助线位于图形外面的。很多学生甚至老师都想不到。三、几何题灵活度高，常规的题变换某些关键元素字眼，或采用图形变换方式，变换图形位置，就会导致图形的多样性，致使答案有多种可能，从而提升难度。导致很多人不会做。综上所述，数学几何所谓坑人题是有招数应对的，只要认真深入认识研究，不难攻破的。

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